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发表于 2008-1-12 11:56:26
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来自： 中国上海
' U# o* M9 [" {0 L* M2 P# Z
* Q# U9 T# T0 I: D) C2 y! `$ ^" W8 m证明如下：2 ^; b8 d" B. I: b' o( F6 c6 s V: b
& `7 L3 i9 j/ \, j+ l% O1 K设f(t)=[t^(n-1)×e^(-t/T)]/[(T^n)×(n-1)!] 后面的除数都为常量，设为A＝T^n×(n-1)!
0 U1 L' W; x4 e' _& _+ I. G7 ^& `. \& O$ T
此为幂函数和指数函数的乘积，各自连续相乘之后曲线也必然连续，所以导数为零。
( u' l- h n, J$ `4 F0 N' j" h2 j# N5 a8 p( c
f(t)的导数为：f'(t)=A×〔（n-1）×t^（n-2）×e^（－t/T）＋t^（n-1）×（－1/T）×e^（－t/T）〕导数也为幂函数连续2 N$ O/ T0 ]* j# n& _9 l2 V* n
! X" U [, s& \令f'(t)=0 消去e^（－t/T）以及t^（n-1），即得t=T×(n-1)，函数在t=T×(n-1)时都极值。以下分析证明该点处函数的极值为最大值。/ B2 F1 n0 I- ^5 l/ @3 o% Y. V+ {6 `& W
1 V7 F+ W6 s- q+ i3 N) Y$ k/ W- L. E4 e
这里楼主似乎缺少了一个条件，就是t恒大于0，即t>0，否则还要取决于n的大小判别导数的正负。3 _5 e) x! b% B, i2 {
1 s8 O+ w5 @$ @3 i* T' M
由上述条件，得知f'(t)=｛〔T×(n-1)－t〕×t^（n-2）×e^（－t/T）｝/T
7 @- j% ]( ~. m% F# }$ Q# N# A F) O0 n, t2 H; D9 M
由于t^（n-2）>0，e^（－t/T）>0 所以f'(t)的正负即f(t)的变化方向取决于〔T×(n-1)－t〕的正负
! U3 [( H; G/ `9 Y2 s/ ~7 o* y
: }+ U3 W( r* ?- U8 W+ K2 P9 P当t<T×(n-1)时，T×(n-1)－t > 0，则f'(t)>0，函数值一直增加) W4 |" Y/ O0 `$ c9 n
当t>T×(n-1)时，T×(n-1)－t < 0，则f'(t)<0，函数值一直减少6 D" j+ c) O: q& F1 S. R; F- c
. D/ z8 F" L7 E. F
所以在t=T*(n-1)时，函数拥有最大极值。 |
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