求证PBC为等边三角形。

xiaojunxue

一道证明题，看看各位对学过的几何还记得多少。:):)

大隐于市

这个证明不难吧，稍微用三角函数关系就能算出来。
$ T& g2 `3 r; l1 T0 U

证明

( Z3 M3 v1 U; @2 K* c; ?' [具体过程如下：
作PQ垂直AD于Q，CH垂直DP于H。设正方形边长为a。
则有：DP=a/(2*cos(15°))
, A6 q! f2 \# n2 q: `+ N6 y( {, P在Rt三角形CHD中，有DH=a*sin(15°)
而sin(30°)=2*sin(15°)*cos(15°)=1/2
& H4 ^5 Z* \) ~& V, w所以：sin(15°)=1/（4*cos(15°))
所以：DH=a/(4*cos(15°))=DP/2
- W- m5 {' \4 `8 ?* J所以：三角形CDP为等腰三角形
1 c! ?; G# o1 i  G" f所以：CP=CD=BC
同理可证：BP=BA=BC
. s4 T) s) `+ [0 ~- P所以：三角形PBC为等边三角形。
1 J6 n/ r% z/ f! j  k5 a. U7 p6 ~
8 |* X7 w. {% {) g
; A- D5 d/ \! ]% `

juestice

1、过B以AB为直径画圆
# F9 h" l: w0 {* E2、以AC中点为圆心，过A画圆
/ ?3 z+ m' b# h  ]2 W3、两圆交点为Q点。
4、因QBC为为正三角形。所以角BQA和BAQ都为75°。所以角QAD和角QDA都等于15°。
5、所以Q和P点重合。
& N2 ~4 p9 T/ z! L6、证毕。

zyyyyp

1.AP=PD
2.角BAP=CDP
3.AB=CD
' k/ Z  {$ [( J* X0 C8 v; W6 K# G三角形BAP全等CDP
所以BP=CP
角BPA=角CPD=角BAP=75度
再证明角BPC=60度就可以了。
: i; K5 Z8 a3 b! d& d: B/ v角APD=180-15-15=150度
" t$ ]* o/ i8 A) Y# J. G角BPC=360-75-75-150=60.
9 _$ @4 V, C( [' c* cBP=CP
5 b4 Q0 k) K% x$ a( zBPC为等边三角形。


, [+ m) {4 n3 Z* H

793879363

哎，以前学的都忘了

xiaojunxue

3楼朋友的证法应该是最简单的。充分利用了反证法。
" A- w8 y6 s3 j& g) L
" S9 Y/ W' ~+ g可以把前两面句表述为：
5 u' w5 W) D3 B" z1、以B点为圆心，以AB为直径画圆
2、以C点为圆心，以CB为直径画圆
+ M1 l9 k. W$ Y7 t( g+ q1 f/ Z8 t
后面的按照3楼表述即可。

gorilla

  O& v: }7 m( o, }  e# E% Z7 K我来给个初二学生可以理解的证明：

以AD为边向外做正三角形ADQ，M、N分别为AD、BC的中点
0 |; q# N. V( `8 o* [! i) Z0 R则QP垂直平分AD，角QAP=60+15=75度，角QPA=75度(90-15)，QP=QA=AD
QM=QP-PM=MN-PM=PN
+ Y! B) X1 K# ^$ k( h; g5 J9 NAM=BN
) v2 j: ~% ~- R: _1 l3 i直角三角形AMQ全等于BNP，BP=AQ=BC
BP=CP，
$ O0 s) E3 u5 J2 p+ T. }! `7 D6 [三角形BCP是等边三角形

xiaojunxue

7楼方法与3楼的异曲同工，也挺好的。

flowerinrr

3 ]1 L0 D3 ]7 v# n# N9 V初中的问题啊 !!!