谁给帮忙证明下这个题目

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PID控制中的一个作业题，请版主手下留情先别着急删。
/ m6 n0 u# F4 F其中t是变量。答案是t=(n-1)T时，取最大值。请问如何证啊。很着急，希望指点下子。

妖精

帮你顶下，看有没有会的给你解决下！

daguang

呵呵,这需要结合高数才能证明的!

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我翻了翻高数的书，刚才已经证出来了。就是首先让它导数等于零，得到驻点。驻点就是(n-1)T。然后驻点左边导数小于零，右边大于零。所以有极大值。:-)

aqaq521

原帖由 liking 于 2008-1-11 07:25 发表 http://www.3dportal.cn/discuz/images/common/back.gif
PID控制中的一个作业题，请版主手下留情先别着急删。
其中t是变量。答案是t=(n-1)T时，取最大值。请问如何证啊。很着急，希望指点下子。

, t5 b& S% F0 o2 {5 w2 l) [7 [1 W
7 `# K4 K# Y8 f$ @8 T证明如下：
* j. y3 ]/ ~6 l; Q/ J# V1 G
设f(t)=[t^(n-1)×e^(-t/T)]/[(T^n)×(n-1)!]   后面的除数都为常量，设为A＝T^n×(n-1)!

+ Q. ?: ~+ t0 S; G& t; H0 `! `# e此为幂函数和指数函数的乘积，各自连续相乘之后曲线也必然连续，所以导数为零。

f(t)的导数为：f'(t)=A×〔（n-1）×t^（n-2）×e^（－t/T）＋t^（n-1）×（－1/T）×e^（－t/T）〕导数也为幂函数连续
: C3 X/ Q* N, p9 Q: X5 Z( C( P
' v: g8 n, Q: Z) x; J5 ~! K令f'(t)=0 消去e^（－t/T）以及t^（n-1），即得t=T×(n-1)，函数在t=T×(n-1)时都极值。以下分析证明该点处函数的极值为最大值。
( e, {) K5 n* X0 t& C
* ^+ N. m% q3 G$ t这里楼主似乎缺少了一个条件，就是t恒大于0，即t>0，否则还要取决于n的大小判别导数的正负。
$ ?/ s+ A' w" h( y" o8 o" \9 g
由上述条件，得知f'(t)=｛〔T×(n-1)－t〕×t^（n-2）×e^（－t/T）｝/T

由于t^（n-2）>0，e^（－t/T）>0 所以f'(t)的正负即f(t)的变化方向取决于〔T×(n-1)－t〕的正负

, E7 i  I9 w$ b3 |0 w/ Z当t<T×(n-1)时，T×(n-1)－t > 0，则f'(t)>0，函数值一直增加
5 k1 d5 c- w7 u( g当t>T×(n-1)时，T×(n-1)－t < 0，则f'(t)<0，函数值一直减少

, L, Q* o- ]4 ^5 K7 ~所以在t=T*(n-1)时，函数拥有最大极值。

zy5600301

这是机械题目吗 发错地方了吧

zhangzaiq

还没弄明白，还需多向高手请教啊。

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原帖由 aqaq521 于 2008-1-12 05:56 发表 http://www.3dportal.cn/discuz/images/common/back.gif
( H$ l) f6 J7 _! O; u
5 H' a: V) B2 }
证明如下：
' Z) c/ J: N+ E. b# w5 b
% s  m- B& V5 `$ E设f(t)=[t^(n-1)×e^(-t/T)]/[(T^n)×(n-1)!]   后面的除数都为常量，设为A＝T^n×(n-1)!

此为幂函数和指数函数的乘积，各自连续相乘之后曲线也必然连续，所以导数为零。
  ]5 C* m2 {7 I5 u( l  t( p
f(t)的导数为：f'( ...

2 h# Q' x; R' d4 U* p- G6 Q% r您解的更详细，谢谢了：)