概率中的互不相容和相互独立的区别

aym0322

随机试验中两个互不相容的两个事件
事件A与事件B相互独立
9 |" N/ k  o& Y  U; ]怎样理解？谢谢各位

chinaster

两个事件互不相容是说，在一个集合内，两个事件同时发生的概率是零；而独立事件是说两个事件同时发生的概率等于两个事件分别发生时概率的积。

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AB互不相容，即A发生，则B不可能发生，B发生A也不可能发生；AB相互独立即A是否发生与B发生无关，B是否发生与A也无关，各自发生各自的.
: \$ M( Y9 |' A5 Y7 P0 l; R$ s# g事件A,B独立是指这两个事件之间的概率满足一个等式：P(AB)=P(A)P(B)
  S! ?6 a4 j+ Q4 V& ?
事件A,B互不相容是指这两个事件之间的运算满足一个等式：AB=空集。
8 t1 g& x9 `. q5 i
7 |+ m. e; G& \! V! d
6 J, G: r" A: w) z) ^: b
也就是说，实际上这两个概念是从不同的角度进行定义的。独立是从概率的角度，互不相容是从事件的关系运算上。
3 U, E$ y* @* S( q2 Y. A6 ^) `
# @2 m- @8 k: f6 j另外这两个概念的理解上，还有一点

如果说“事件A,B独立”这是一个物体的汉语描述，那么“P(AB)=P(A)P(B)”这就是从数学语言进行描述。
; w% s0 H1 D# G! [+ c, R% r
! s& Y+ u4 C9 ^/ V& E同理，“事件A,B互不相容”他就等价于数学语言的描述“AB=空集”

9 K" h% j6 L2 y' d+ }这两种描述上，要做到看到汉语描述，反映出数学描述。看到数学描述，必须立即想到汉语描述。
) V0 v5 b" z3 @1 z
- s7 o& \8 q: Z2 e
# A  Z9 e+ @; S& P( C+ B# Y& w+ L
1 e) z6 v) ]* e) `" U% N% \! V以上是两个概念的区别

下面我们来看两个的联系

正如我们定义中讲到的
5 o7 F  y, I  x4 S; d# x' e
. s  _: l5 h% m: i

7 ?; F# N6 ~' o1 B% M3 p事件A,B独立，也就是他们满足“P(AB)=P(A)P(B)”

% g7 N- [, n6 @3 k& x: p. l' a3 {% X事件A,B互不相容，也就是两个事件之间的运算满足一个等式：AB=空集。

现在我们来看，两个事件独立，是不是就意味着事件的互不相容？
6 |6 A8 d( B+ W& B! {$ n! Y5 r
% @$ |$ ?5 R: D9 x我们根据事件的互不相容,得到“AB=空集”在这个等式两边取概率，我们有P(AB)=P(空集)=0；
. d  @5 N$ s  x4 r1 O
所以，如果两个事件独立能够推出两个事件的互不相容，我们有P(AB)=P(A)P(B)=P(空集)=0

2 S- C( P! g* J2 r 也就是必须满足P(A)P(B)=0.
  |0 \, o. p# m5 x" F
) R, b. ]: M9 L3 E" _
# Z9 ^9 v' E4 b3 I$ g; _. T1 f
从而我们有：当P(A)P(B)=0时，A，B独立才能推出A,B互不相容。
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) [0 {" G" ~7 B$ m5 ?* l( o
. e5 X% |8 o' d) J3 }如果两个事件互不相容能够推出两个事件的独立，则有P(AB)=0=P(A)P(B),也即P(A)P(B)=0
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5 H, r3 i( z) c$ G) U( S
& R" J& y% \# `! r7 N/ R
: A* d% U( V1 @( A从而我们有：当P(A)P(B)=0时，A，B互不相容才能推出A,B独立。



* P! R3 P: o& O8 N综上，我们知道，一般情况下，两件互不相容的事件不一定相互独立,两个相互独立的事件也不一定互不相容。

8 t, e6 a7 i6 j 只有满足条件：P(A)P(B)=0时，这两者才能相互推出。

% V  q1 C4 @2 W$ x" s, J[ 本帖最后由 YHHL 于 2008-3-8 11:18 编辑 ]