CAD几何作图竞赛题（2015年7月），竞赛结果已公布

oxm44

, t  g3 l6 p/ Y+ @, M" @

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:53
请教大师，为什么ag是中垂线呢？

这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平行且垂直于ag。故有ag⊥DC
2 Q" h" \: e* ~! P
) P! R+ r& f" {  v/ A8 Q; A
5 R- f* b6 H& y/ a  \/ }

gongwen0519

, g0 m, f- w* a! l. c
倡导纯几何作法：
# C* G2 h% I3 m" ]/ y$ ?

# y& n) E. y$ d7 Q一、主体部分：
* s( t4 ^  w$ y* S! X2 d

* G) a/ `4 p( _. c

( I  Q: c7 ~3 V+ |9 H
二、小篮部分：
  c  {# a# }0 G8 v3 K- ]5 w: y) w
. r/ D: v6 o! ~3 b
" O, C, i$ F. z! \
5 j% K& O8 O) R4 q# Z0 H/ V2 S
6 E- u& [! `5 `0 Y7 D" C


- N3 u) o/ n5 z6 X/ j: y$ j0 M

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 12:45
% }* _$ N/ D! C$ l倡导纯几何作法：

4 o+ S$ ]0 _2 G# z7 C/ w: _  m大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

gongwen0519

chenmik 发表于 2015-7-25 13:29
大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

! k4 x' d9 z* w! ^& e8 O一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：
( X1 K9 R- M. t! f8 J8 @9 K) Q( k
- g8 @: E/ t1 J) j' \: |

其中各次系数分别如下：

& L( C3 N, Z# ]& g, b7 a1 ~( MA8=4096*(a-b)^4
& g1 V7 J2 j* l& O% U' K, X
, f: l3 t% F; x  N4 {" WA7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)
4 K) e, _, C( j7 f% f' x
0 D, d2 m- D' CA6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2

A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
  t8 R+ L( Z: ?+ }( l
A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
1 K3 [4 `7 I1 x4 l* T1 M8 X- W! k7 q
A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
7 T, d. @$ ?8 y; B1 ?3 d6 p5 i
- w" g2 P4 f, C$ i" J' iA2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)

A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)

A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

/ e# s: B% G, W; [9 ]

1. A8=4096*(a-b)^4
     I* ?8 z# Z1 G% U) }4 E
2. 
   
3. A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)
   8 P8 D9 m- {: c+ D
4. 
   ' ]/ t! I3 N# h  D4 s
5. A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
   
6. 
   $ Z  S3 K2 m  M, S* Q: H
7. A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
   
8. 
   
9. A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
   
10. 
    + {+ ^7 @  f- x. A  x* M
11. A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
    2 E* J, ~5 I6 X2 V1 I! `( A2 ?4 e
12. 
    
13. A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
    
14. 
    
15. A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
    ) S/ z9 T* |& C! J. q
16. 
    
17. A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

复制代码

: p  `" G, s* O# v2 l: k
5 |  s. d) V- u) `& \% @. H

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 18:36
一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：

. Z- ^3 r' Z2 W$ x3 n' [多谢大师解答。原来是这样，我想了好久。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:44
我一开始也以为R80圆弧就是与两个圆a相切，后仔细看图后才知道是下图示与1、2相切：

+ ^) u& e% V* ~% h不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-29 07:44
不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

$ }. p% _9 i8 k: a朋友，请仔细看原题目图示中心线。
另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-29 08:32
朋友，请仔细看原题目图示中心线。
, H) C6 ~& B6 ?7 }9 y: b) C, x另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

5 _9 l0 U) y1 S2不和a相切，不会过定义，

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 07:59
" i/ m4 Z4 z5 R2不和a相切，不会过定义，

圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
你按我说的画，面积就应该对了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-30 08:06
圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
& D+ z# I" T$ `+ U# T你按我说的画，面积就应该对了。

  H- L' x( b$ u我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时, 1会与圆a相交,看起来不美,我放弃了这种方法.

oxm44

"我爱用acad"的理解是正确的！

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 09:00
: k1 Q& |$ v# |& ?; l$ r. V3 e& [我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时,  ...

) i& \$ u5 P+ c6 k1 I- N" B+ v& L8 B如果不是用“R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆”方法作图，就不符合原题意了，面积也不对。
% E8 K6 N. n: D! @! E. ?) r% v这与美不美无关了。

gongwen0519

oxm44 发表于 2015-7-24 18:32
这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平 ...

补个简要：


' V0 j5 V4 [% Q  c: q) o

gongwen0519

图形中上下两部分是全等的，显然mm垂直平分nn。

4 ?% u3 \5 J2 C1 X

oxm44

chenmik 发表于 2015-7-24 13:28
四边形内四等圆相切是否有通解的几何作法呢？比如将200改成210，用19楼的方法解不了。

2 E- r9 g4 \/ l: h! R这是个特例，不能推广到一般。“特”在以下两点：1、必须是直角梯形，2、此直角梯形上下两底的长度之和必须等于直腰之长。唯有而此，方可确保两直角的角平分线交于斜腰的中点。

xuchaohui

来晚了。大神们已经画出来了。学习啊

topsjsn_2008

那条斜边的中垂线，把梯形分成了2个全等的四边形，才有了后面的解答