已知弧长L，弧高H。怎么求圆的半径R？

rgyzgwh · 发表于 2009-6-22 19:27:57

设弧高h,弧长l，半径为r. 那么这段弧对应的夹角弧度为d=l/r.
由简单的计算可知： 1-h/r=cos(d/2)
所以由倍角公式得，
cos d= 2(1-h/r)^2-1=1-4h/r+2h^2/r^2
又因 d=l/r
故得方程：cos(l/r)=1-4h/r+2h^2/r^2
当然，这是超越方程，没法求精确解。所以我们只好退而求其次，求它的近似解。
考虑cosx的幂级数展开：
cosx=1-1/2*x^2+1/24*x^4-1/720*x^6+...
于是上述方程在1阶精度上近似等于：
4(h/l)+(2(h/l)^2-1/2)*(l/r)=0
从而r=(l/8)*((l/h)^2-4)
当然，如果你想得到更精确的计算值，也可以用牛顿迭代法。这里就不展开了。你可以去看任何一本讲《数值计算》的书。

gongwen0519 · 发表于 2009-6-22 21:02:25

原帖由 rgyzgwh 于 2009-6-22 19:27 发表 http://www.3dportal.cn/discuz/images/common/back.gif
% x% N' W7 E% M3 \) R设弧高h,弧长l，半径为r. 那么这段弧对应的夹角弧度为d=l/r.
* [2 P" Y( }6 C4 b K0 r% m由简单的计算可知： 1-h/r=cos(d/2)
% j" U$ y$ \2 b! S( m所以由倍角公式得， - L# \) I1 x* H
cos d= 2(1-h/r)^2-1=1-4h/r+2h^2/r^2
! s' P5 }0 P$ W' K: U又因 d=l/r
: t" w: c& D6 ]7 U$ H c3 n5 P2 e故得方程：cos(l/r)=1-4h/r+2h^2/r^20 t [0 p0 y: O1 k* j- a9 e
...

楼上用泰勒展开式近似计算是个办法，在Excel中用迭代得到数值用在cad中，下面这个式子的精度就足够了：

!jd.gif

czy12 · 发表于 2009-6-22 21:09:14

用EXL的方法求解是不得已的事，因下列原因，一直未能推广。

1.很明确了，无解。要有解必须是400.000000009.
为什么？因为这个565.497是EXL用无限趋近的方法求得的）。

2.变量求解不是用在这种情况下，因为我们的R是未知的，它无法用具体数值先去表示。变量求解其实是个暴力求解法。如MD5解密一样，首先要有可以对照的数字。

所以，要求这个R值，我们必先假定一个R值，而这个R值如果假定得离所求弧长400越接近，那么单变量求出的R值就越近似，精度就越高。

好比：我假设这个R值为565，然后让EXL或MD5去暴力穷解，当解到接近弧长为400这个数值时，非标答案就产生了：R＝565.4981，弧长L＝400.0003909，

综上所述，这是个凑答案的方法，是无法正确求得精确解的。

但是，有一点可以肯定的是：只用这两个条件只能是近似的求解。无法求出精度为0的值。

这个方法

j422 · 发表于 2009-6-22 22:48:39

原帖由 czy12 于 2009-6-22 21:09 发表 http://www.3dportal.cn/discuz/images/common/back.gif
0 V* [7 X( c" o, W) v+ l) c用EXL的方法求解是不得已的事，因下列原因，一直未能推广。
5 o$ P4 u% z( `- O7 A7 `% L8 ~3 V/ h2 N( \: p, K8 D
1.很明确了，无解。要有解必须是400.000000009.% [3 n4 P6 Z. o8 [: A- a/ g0 G
为什么？因为这个565.497是EXL用无限趋近的方法求得的）。
5 b P% `9 M4 o8 T% P0 ?( n, j0 C
, ]' [& H4 x' O3 I9 W2.变量求解不是用在这种情况下，因为我们 ...

显示可以精确解到400,精度可设到小数点后30位.

2005llnn · 发表于 2009-6-23 13:53:15

采用一种新方法“精确选点法”解CAD难题就比较简单，
下面动画演示只是精度为小数点后四位，如果要更加精确的，可以通过放大图形来作图。

www1974 · 发表于 2009-6-23 14:14:39

这个问题看见好几次了。呵呵，我也在贴一次，模拟拉伸逼近。
上次看成弧长弦长了，现在搞好了~~
(defun c:aaa()
  (setq L1 (getreal "弧L1="))
  (setq L2 (getreal "弦高L2="))
  (setq PT1 (list 0 L2))
  (setq Ln (/ L1 2))
  (setq jd (/ L2 50))
  (setq Lxx (+ L1 100))
(while ( or (> Lxx L1)
         (< Ln 0.1)
      )
  (setq PT2 (list (- 0 Ln) 0))
  (setq PT3 (list Ln 0))
  (command "arc" "none" PT2 "none" PT1 "none" PT3)
  (command "lengthen" (entlast) "")
  (setq Lxx (getvar "perimeter"))
  (setq Ln (- Ln jd))
  (command "ERASE" (entlast) "")
)
;;;------------------
(setq i 10)
(repeat i
(setq Ln (+ Ln (* 2 jd)))
(setq jd (/ jd 10))
(setq Lxx (+ L1 100))
(while ( or (> Lxx L1)
         (< Ln 0.1)
      )
  (setq PT2 (list (- 0 Ln) 0))
  (setq PT3 (list Ln 0))
  (command "arc" "none" PT2 "none" PT1 "none" PT3)
  (command "lengthen" (entlast) "")
  (setq Lxx (getvar "perimeter"))
  (setq Ln (- Ln jd))
  (command "ERASE" (entlast) "")
)
)

;;;------------------
(setq Ln (+ Ln (* 2 jd)))
(setq jd (/ jd 50))
(setq Lxx (+ L1 100))
(while ( or (> Lxx L1)
         (< Ln 0.1)
      )
  (setq PT2 (list (- 0 Ln) 0))
  (setq PT3 (list Ln 0))
  (command "arc" PT2 PT1 PT3)
  (command "lengthen" (entlast) "")
  (setq Lxx (getvar "perimeter"))
  (setq Ln (- Ln jd))
   (if  ( or (> Lxx L1)
         (< Ln 0.1)
      )
      (command "ERASE" (entlast) "")
      ()
   )
)
);(defun

[ 本帖最后由 www1974 于 2009-6-24 14:13 编辑 ]

你好007 · 发表于 2009-6-26 18:00:00

R=H/1-cos(180°L/2πR)
再计算出来就可以，这是我自己计算出的公式，麻烦了点

shhch_555 · 发表于 2009-7-29 08:35:49

公式为：H=L^2/(8*R)
H----弧高
L---弧长
R---曲率半径
请各位自行验算一下哦！！100%正确哦！！

[ 本帖最后由 shhch_555 于 2009-7-29 15:42 编辑 ]

gangwang · 发表于 2009-7-31 21:24:11

好多强人，学习中

wtongong · 发表于 2009-8-2 11:36:17

原帖由 geng75 于 2009-5-12 13:40 发表 http://www.3dportal.cn/discuz/images/common/back.gif' E2 S( w/ P1 h1 X4 Z
已知弧长L，弧高H。怎么求圆的半径R？

看来楼主想用六米长的水管做蔬菜大棚
已知弧长，设定玄长与玄高即可按下面口诀近似算出Ｒ值

半玄乘半玄除以高再加高（得出的为近似直径）

[ 本帖最后由 wtongong 于 2009-8-2 11:43 编辑 ]

cqwstp · 发表于 2009-8-7 11:28:24

看来这么多介绍，我觉得用EXCEL方法更易于掌握一些，谢谢大家

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