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发表于 2007-7-24 11:35:56
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来自： 中国北京
伯努利方程及应用
第7讲：伯努利方程及应用 7 ~; |2 r$ O3 U8 n+ H
一 、本课的基本要求
6 d+ @0 D c' e, U9 p. P* I* e: o/ |% ^( K7 x; a' f) F, y; K
⒈了解欧拉方程的适用条件，伯努利方程微分式的物理意义。
0 @7 n) {1 h, ?) h
% A' D0 x9 U* H a4 o7 L⒉掌握伯努利方程积分式的形式，适用条件，物理意义。
/ v' o- q- \9 Q+ C3 p5 @* H3 a$ X6 }& r4 b: N
⒊掌握管流伯努利方程式的应用。- c+ Q" G7 U- U y7 v
; P3 n: ?& d6 x* F4 i6 P. o8 [2 e二 、本课的重点、难点：
! a/ {5 r; H) I7 K9 X5 U- B- J R' B
重点：管流伯努利方程式的应用。
4 M J- q; ~; c" V8 c7 n3 H7 p2 B H- g; W# h) |
难点：管流伯努利方程式的应用。 * r) Q% Z8 P7 `* j+ A* K' [' ~) E
1 [2 g- t/ d6 I6 {. r; W, {" k p1.3.3 理想流体动量平衡方程式--欧拉方程（ Eular equations ） d, @* l! X' K3 z; g
+ z7 \: V0 g/ G理想流体：没有粘性的流体， 。" v, y7 v+ S2 y) J
" Z9 z2 k. o* n# h$ g5 g! v
实际流体都具有粘性，提出理想流体的意义何在？简化：
" I6 Z2 o8 d: u! R5 i) Z9 F
5 C0 K6 Y, i) `1 Z. i+ a1 x0 |① 时， N-S 方程简化为欧拉方程 (1-3-12 a ) P36
/ n( K. b9 F/ M1 |% r
! A! n( f l% \' z2 e& q② 稳定流动， (1-3-12 b )6 e+ G! o& E% H( l5 n5 ]
' R. ]* t; j" L8 d③ 单位质量流体 (1-3-12 c )$ ?' s' y2 u @6 n( X
+ K1 ^) R3 X% ?$ M$ z( e$ f
) l2 l3 _- r1 c! N) r/ `% ^# O
" a D/ i) _5 M* Z2 y$ j. K8 g
欧拉方程适用条件：理想流体、稳定流动、不可压缩流体 ( 元体范围内 ) 。/ i+ Q3 D3 u+ c8 x
. s0 ^8 l# k3 J+ G* |' _
1.3.4 欧拉方程的简化 ¾ 伯努利方程（ Bernoulli equations ）
, q: | k: g1 S% i# j) B
; z/ @" K5 f& i⒈ 伯努利方程式的微分式
6 b7 }# Z9 }* }8 q: R( ^4 m# _; z& p, g p
在流场中，流体质点于流线方向上具有一维流动的特征，对于理想流体，在稳定流动的条件下，沿流线方向作一维流动的动量平衡方程式可由欧拉方程简化处理。处理过程中用到两个概念。
2 ?& X( b2 p- X. ?1 e% i0 Q& N4 C! P# Z
① 全微分
) c, h0 r; h! ~$ O6 T2 n7 ^5 O- K
根据全微分的定义，在稳定流动下，有：
0 D: l) I. p# L& R& j% a) O4 Z4 D. H$ p& k: N& ]) a+ M
$ p. ^3 w: z0 o7 ^* c
0 k, S. ]; n/ G0 A# W5 l
9 \7 q9 G- Y" P ~/ A0 N: i" p r9 ?+ e1 F3 _
/ J f9 u7 v( u
' w1 v$ C" `9 g0 O2 G O
7 M# u8 k e9 {) h% N) \1 o8 _- o! z) ^5 ]/ ^0 Z
B, ]& i! S1 T; v1 X* f$ Y7 _- ^
同时，
0 V' O( f( @, Z; |- O3 h' j6 t& m& s8 h# O
则
. ~# g8 `4 b: a9 [0 |3 T5 A0 J9 V7 ]! m& H
② 5 r" }$ e" j7 g: V
) P# i- b- o$ `/ Y* G
/ b1 S+ X1 n9 S& F
$ h- u& }$ J) L1 H$ w则
( _0 _ p% I8 j$ k( U3 c; G8 y% C' [! w/ c# J
% |) j9 @% R2 d6 w D) z
5 p n5 Z/ x$ A; A* c) J
+ J1 j. j; \( R- {, g
1 d/ u- m$ c5 g
理想流体、稳定流动、沿流线方向的欧拉方程式，称为伯努利方程式的微分式。
' w& G6 u( J* p0 `3 L5 \& g; ^4 V+ I+ e2 Z4 I$ T; P9 L: X: N
⒉ 伯努利方程式
2 O+ R9 \9 j( ^) c) q8 P. o7 W
/ }: Q1 h( X5 R: J5 |# C- x⑴ 方程式的导出
' e# y3 [. ~" }+ a8 w' j4 @
# }; q2 I' z; U n( @ o由伯努利方程的积分式来确定运动过程中的动量平衡关系：图 1-3-7 P38* e: g# f; `. j2 S: u9 n( e+ {1 j
$ t6 ~: ~+ I# q- q0 h' [9 l' b
; ^6 s0 t) C7 G. H
; X7 u* ^# b( y2 A" Y9 [或
, X, I9 g# H/ J O. X4 J+ l# W/ o2 i" Z1 x1 T
⑵ 方程式的讨论: D4 w0 [6 g; b& Z6 H! @
) n7 s6 @2 a! N, p
适用条件：理想流体、稳定流动，不可压缩流体、沿流线方向。
2 O% J+ v, d0 x+ _+ i1 Y: X4 ~. |( m7 x- [9 g- b4 G
物理意义：① 单位：机械能守恒定律的体现。- h# s. A( s) a D( Z
( j: G/ V9 `4 \8 Y+ s1 U9 B ②
1 L6 n/ Z2 d2 ? C( i: U, Z% ]: j6 r5 ~4 U% W" d' L0 s/ h
③ 各个能量之间可以相互转换，对理想流体而言，其总和不变，粘性流体在流动过程中存在能量损失—静压能的降低。
! M# u) L4 c9 {* [1 ~% Q6 K$ s b3 v9 j6 y- c
⒊ 伯努利方程式在管流中的应用 图 1-3-8 P39
# c+ ?0 x: v- J! E
4 Y P( i, A+ f4 u5 @, v, C+ J一般管流的伯努利方程为 9 D, |4 e0 P! W7 Z2 Y
4 k; C6 h, Z) V7 Y* g/ ~/ A
限制条件：理想流体、稳定流动、不可压缩流体、沿流线方向。
3 F% J0 W2 W. M6 \
5 d6 ~4 s8 l) e: s对于实际流体：1 j' f$ d3 W3 e1 d& ~7 B
0 _8 p* C, {" [; l7 Q
5 g1 i0 c4 V) T- J$ z4 _
X8 B; k8 [- y, W1 @( M
式中 --能量损失 3 W4 e* Y8 |6 h8 g, A9 G9 W
( M0 X! h1 e) K; x8 e, e* A6 T: S
+ {, V# D& l: s) ?0 g. H7 P+ b- D, v0 k0 z: G, h0 ^, S
式中 -- Pa. 。0 C2 F$ V0 `! D) }' f0 ^
) v0 I3 x1 O6 j# R% A7 E伯努利方程应用于管流时的几点说明：3 k' F E _1 G* y
: {4 f2 K6 @+ A/ d- W
⑴ 管道平直、流动为缓变流 ( 流线趋于直线且平行 ) 。反之，为急变流。( ]& i$ w# C6 d( Y- Q- z7 P' Z. r3 L
) {( m4 W1 H- |3 ?
⑵ 关于动能的计算' y% g6 V# P/ D w$ S0 _5 P( ]
8 X+ Q; K e4 Q* d3 s* I2 t# b6 |& p3 m$ X; \* a/ a
) r! q, f+ N U
式中 a --动能修正系数， 。
( F( ?2 k. p8 H4 ^/ `4 k' r
% z5 W4 ~% a1 S* v6 g8 L实际管流的伯努力方程应为
5 T ^% |/ m* v- [) `( s7 Z$ ~5 v# P
4 @0 m% {3 o, b& {, s! p1 G. `" O3 t
⑶ 应用管流伯努力方程应注意：
: `; L+ ?% g) C! c; x& ~/ R) O3 D4 Z
① 适用条件：理想流体、稳定流动、不可压缩流体、沿流线方向、缓变流。; p1 ~3 D# C- e5 \0 E$ U
! H- O7 W$ \9 v& R9 g5 E& N& p
② 工程上大多数都是紊流， a » 1.0 。: M$ J& b. a0 m- C& `, n- F
* y6 Z) W9 T6 `4 q③ P1 、 P 2 可以是绝对压力，也可以是表压力。 绝对压力与表压力的关系？/ L* X) a% j8 G( x
9 \) ^1 A8 P: @4 g1 B; m" q. ]# |
④ w1 、 w 2 、 r — 实际状况下。 实际状况下的流速、密度公式？& T; r& ~2 F! P( j" [% B% e5 O
8 U9 O' o) p$ N1 T" I⑤ z1 、 z 2 取决于基准面。1 Z4 @9 D1 o1 g! O! v$ U
& M: n8 a# Z; q8 W/ P) j+ l7 e1 ~伯努利方程式在工程上的应用极为广泛：流量测量、喷嘴设计、烟囱设计等。共性？; b9 I! W& e B T& ]# O* O2 e5 ?
* R6 E6 {4 z: w6 W) {应用时：方程联解。 |
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